一、第一范式 First Normal Form

1. 如果域（Domain）是不可分的，则称域是原子（Atomic）的

2. 如果关系范式中的所有域都是原子的，则称该关系范式满足第一范式（1NF）

3. 一般要求关系型数据库中的所有关系都满足第一范式

   **示例：**不满足第一范式的关系设计

   • 复合属性：可以进一步分解为更小组件的属性

   • 多值属性：允许存放多个值的属性

   • 复杂数据类型：在属性中存放对象

     学生ID| 姓名          | 课程
     1     | Tim,Cook     | 数学,物理
     2     | Steve,Jobs   | 化学
     
     // 姓名可以继续分为姓和名，故为复合属性
     // 课程允许存放多个值，故为多值属性
     // 它们都不满足第一范式
     

4. 将不满足第一范式的关系转化为第一范式

   • 对于复合属性，使用多个属性进行表示
   • 对于多值属性，使用多个属性或者一张单独的表进行表示

二、函数依赖 Functional Dependencies（FDs）

1. 函数依赖的概念

1. 定义

   • 令 $R$ 是关系范式， $\alpha$、 $\beta$ 是 $R$ 上的属性集
   • 函数依赖关系 $\alpha \rightarrow \beta$ 成立，当且仅当对任何合法的关系 $r(R)$ ，给出 $\alpha$ 的值能唯一确定 $\beta$ 的值

   示例：

   在下图的关系中， $A\rightarrow B$ 不成立， $B\rightarrow A$ 成立

   

2. 函数依赖与键（Key）的关系

   • $K$ 是 $R$ 的超键，当且仅当 $K\rightarrow R$
   • $K$ 是 $R$ 的候选键，当且仅当 $K\rightarrow R$ 且不存在 $K$ 的真子集 $\alpha$，使其满足 $\alpha \rightarrow R$

3. 平凡的函数依赖

   • 一个函数依赖是平凡的（trivial），若它对所有的关系范式都成立
   • 若 $\beta \subseteq \alpha$，则函数依赖 $\alpha \rightarrow \beta$ 是平凡的，否则则不是平凡的

   示例：

   $A\rightarrow A$、 $AB\rightarrow A$ 都是平凡的函数依赖

2. 函数依赖集的闭包 Closure of a Set of Functional Dependencies

1. 定义：由函数依赖集 $F$ 可以逻辑推导出的所有函数依赖关系组成的集合 $F^+$ 称为函数依赖集 $F$ 的闭包；函数依赖集与其闭包是等价关系

   示例：

   

2. Armstrong’s Axioms

   以下三条定律为基本定律：

   • 自反律（Reflexivity）：若 $\beta \subseteq \alpha$，则 $\alpha \rightarrow \beta$
   • 增补律（Argumentation）：若 $\alpha \rightarrow \beta$，则 $\gamma \alpha \rightarrow \gamma \beta$， $\gamma \alpha \rightarrow \beta$
   • 传递律（Transitivity）：若 $\alpha \rightarrow \beta$， $\beta \rightarrow \gamma$，则 $\alpha \rightarrow \gamma$

   以下三条定律为导出定律，它们可以由基本定律导出：

   • 合并律（Union）： 若 $\alpha \rightarrow \beta$， $\alpha \rightarrow \gamma$，则 $\alpha \rightarrow \beta \gamma$
   • 分解律（Decomposition）：若 $\alpha \rightarrow \beta \gamma$，则 $\alpha \rightarrow \beta$， $\alpha \rightarrow \gamma$
   • 伪传递律（Pseudotranstivity）：若 $\alpha \rightarrow \beta$， $\gamma \beta \rightarrow \delta$，则 $\alpha \gamma \rightarrow \delta$

   示例：

   

3. 求函数依赖集的闭包的算法

   

4. 对于 $n$ 个属性的关系范式，其函数依赖集的闭包最多可能有 $2^n\times 2^n$ 个元素

3. 属性集的闭包 Closure of Attribute Sets

1. 定义：在函数依赖集 $F$ 下，由属性集 $a$ 能够决定的所有属性的集合 $a^+$称为属性集 $a$ 的闭包

2. 求属性集的闭包的算法

   

3. 使用属性集的闭包检查超键

   • 原理：若 $a$ 是超键，则 $R \subseteq a^+$
   • 方法：求 $a$ 的闭包 $a^+$，若 $R$ 的所有属性都包含于 $a^+$，则 $a$ 是超键

   <aside> 📌

   可以使用画图的方法寻找超键 / 候选键

   • 在左图所示的函数依赖关系中，AG 是候选键，而 AB 不是
   • 在左图所示的函数依赖关系中，AC、BC 是候选键

   

   使用画图寻找超键 / 候选键时，一定要小心遗漏

   示例：

   $R=(A, B, C, D ,E)$

   $F=\set{A\rightarrow B, BC\rightarrow D, D\rightarrow A}$

   使用画图的方法寻找候选键时，一定不要遗漏 $E$，正确答案为 $ACE$， $BCE$， $CDE$

   

   </aside>